高等数学 —— 函数、极限、连续

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什么是微积分

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背景介绍

最近需要解析梯度下降算法，对于矩阵搞不清楚怎么进行多矩阵的梯度下降，算起来是补充基础了。

高等数学研究了什么问题？

高等数学是由微积分学，较深入的代数学、几何学以及它们之间的交叉内容所形成的一门基础学科。主要内容包括：数列、极限、微积分、空间解析几何与线性代数、级数、常微分方程。初等数学研究的是常量与匀变量，高等数学研究的是非匀变量。

1. 函数、极限、连续。
   函数的概念是什么？函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性是什么？复合函数、反函数、分段函数和隐函数。基本初等函数的性质。函数关系的建立。
   数列极限与函数极限的定义及其性质，函数的左极限与右极限，无穷小量和无穷大量的概念及其关系，无穷小量的性质及无穷小量的比较。极限的存在准则：单调有界性准则和夹逼准则，两个重要极限。
   函数连续的概念，函数间断点的类型，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。

2. 一元函数的微分的问题。什么是微分？导数、微分。
   导数和微分的概念，导数的几何意义和物理意义，函数的可导性与连续性之间的关系。
   平面曲线的切线和法线，导数和微分的四则运算，基本初等函数的导数，复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法，高阶段导数，一阶段微分形式的不变性，微分中值定理（罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，泰勒定理，柯西中值定理），洛必达法则，函数单调性的判别，函数的极值，函数的凹凸性，拐点以及渐近线，函数图形的描绘，函数的最大小值。
   弧微分，曲率的概念，曲率圆与曲率半径。

3. 一元函数积分学。
   原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质，基本积分公式，定积分的概念和基本性质，定积分中值定理，积分上限的函数及其导数，牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式，不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法。
   有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分，反常（广义）积分，定积分的应用（平面图形的面积，平面曲线的弧长，旋转体的体积及侧面积，平行截面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）及函数平均值。

4. 多元函数微分学。
   多元函数的概念，二元函数的几何意义，二元函数的极限与连续的概念，有界闭区间上二元连续函数的性质，多元函数的偏导数和全微分，多元复合函数、隐函数的求导法，二阶偏导数，多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值，二重积分的概念、基本性子和计算。

5. 常微分方程。
   常微分方程的基本概念，变量可分离的微分方程，齐次微分方程，一阶线性微分方程 ，可降阶的高阶微分方程，线性微分方程解的性质及解的结构定理，二阶常系数齐次线性微分方程， 高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程，简单的二阶常系数非齐次线性微分方程 ，微分方程的简单应用

填坑

函数的概念

在数学中，函数是一种对应关系，它将一个集合中的每个元素（称为自变量）映射到另一个集合中的唯一元素（称为因变量）。函数通常用一个符号表示，例如 f(x)，表示自变量为 x 时对应的因变量值。
函数的概念包括以下几个要点：

定义域（Domain）： 函数的定义域是指所有可能作为自变量的值的集合。函数在定义域内有定义。
值域（Range）： 函数的值域是指所有可能作为因变量的值的集合。对于实函数（实数到实数的映射），值域是函数的所有可能取值的集合。
图像（Graph）： 函数的图像是在坐标系中表示函数的一种方式，横轴表示自变量，纵轴表示因变量。函数的图像可以帮助我们直观地理解函数的性质。
对应关系（Correspondence）： 函数是一种对应关系，它确保了每个自变量都有唯一的因变量与之对应。
函数的表示方式： 函数可以通过公式、图表、数据表等方式来表示。常见的函数包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

注： 补充概念，数学中的“元”指未知数，常见的一元一次，二元一次。数学中的“项”代表由数与未知数还有运算符号组成的基本算术单元。“次”就是方程中未知数的乘方数。

函数的性质。

函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性是什么？

有界性（Boundedness）：一个函数在某个区间内是有界的，意味着存在一个常数M，使得函数的取值始终在一个特定的范围内，即|f(x)| ≤ M，对于所有的x在给定的区间内成立。如果一个函数既有上界又有下界，则称该函数在该区间内是有界的。
函数的有界性判断方法？

单调性（Monotonicity）：一个函数在某个区间内是单调的，意味着函数的值随着自变量的增加而增加或者随着自变量的减少而减少。如果函数在区间上满足f(x1) ≤ f(x2)对于任意x1 < x2或者f(x1) ≥ f(x2)对于任意x1 < x2，则称函数在该区间内是单调递增或单调递减的。
函数单调性判断方法？

1. 定义法
2. 导数法

周期性（Periodicity）：一个函数在某个区间内是周期的，意味着存在一个正数T，使得对于所有的x在该区间内，有f(x+T) = f(x)。即函数在一个周期内重复。

奇偶性（Odd and Even）：一个函数的奇偶性指的是函数的对称性。如果对于所有的x在定义域内，有f(-x) = -f(x)，则称函数是奇函数。如果对于所有的x在定义域内，有f(-x) = f(x)，则称函数是偶函数。

复合函数

设函数y=f(u)的定义域为Du，函数u=g(x)的定义域为Dg，值域Rg。若Du和Rg的交集不为空集，则称函数y=f[g(x) ]为函数y=f(u)与函数u=g(x )的复合函数，它的定义域为{x|x属于Dg，g(x)属于Du}。
例如：如果有函数f(x) = x^2 和g(x) = 2x +1,那么他们的复合函数f(g(x))就是先计算g(x)，得到2x+1，然后将2x+1作为f(x)的输入，最终得到f(g(x)) = (2x+1)^2
复合函数的性质：

1. 结合律：即(f。g)。h=f。(g。h)，其中。表示复合。
2. 交换律：一般情况下，复合函数不满足交换律，即一般情况下f。g=/=g。f
3. 单位元：对于每个函数f(x)，都存在一个单位元函数e(x) = x ，使得f。e = f和e。f = f

反函数

反函数是指一个函数的逆运算，如果函数f将集合A中的元素映射到集合B中的元素，那么f的反函数f^-1将集合B中的元素映射回集合A中的元素，使得f^-1(f(x))=x对于所有x成立。
例如：如果有函数f(x) = 2x ,它将实数集合中的每一个数映射到其自身的两倍，那么它的反函数就是f^-1(x) = x/2，将任意实数x映射回其的一半。反函数在数学中可以用来解决函数的逆运算问题。

分段函数

分段函数是指由多个部分组成的函数，每个部分在定义域的不同区间内具有不同的表达式。例如，绝对值函数就是一个常见的分段函数，它在正数区间和负数区间的表达式是不同的。分段函数用两个或两个以上的 式子表示，分段函数不是一个函数，判断分段函数的值域、运算、性质时，都需要在相应的定义域范围内进行。
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隐函数

隐函数是由隐式方程所隐含定义的函数。设F（x,y）是某个定义域上的函数。如果存在定义域上的子集D，使得对每个x属于D，存在相应的y满足F(x,y)=0，则称方程确定了一个隐函数。记为y=y(x)。 [2]显函数是用y=f(x)来表示的函数，显函数是相对于隐函数来说的。
如果在方程F(x,y)=0中，当x取某区间内的任一值时，相应地总有满足此方程唯一的y值存在，那么方程F(x,y)=0在该区间内确定了一个一元隐函数。类似若有一个三元方程F(x,y,z)=0所确定的二元函数z=f(x,)存在，则有可能确定一个二元隐函数。
例如，圆的方程 x^2 + y^2 = r^2 中就包含了一个隐函数关系。
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基本初等函数的性质

基本初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。它们具有一些常见的性质，如奇偶性、周期性、单调性等。例如，正弦函数是一个奇函数，具有周期性和单调性。（反三，对，幂，指，三）












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注:初等函数是指可以由有限次常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数通过有限次四则运算和复合运算（即函数的和、差、积、商以及函数的复合）构成的函数。

函数关系的建立：

建立函数关系通常涉及到确定函数的表达式或规律，以描述输入和输出之间的关系。这可以通过观察规律、实验数据或者解决实际问题来完成。例如，建立两个变量之间的线性关系可以通过观察数据点来确定斜率和截距，从而建立线性函数的关系。、

极限

数列极限与函数极限的定义及其性质，函数的左极限与右极限，无穷小量和无穷大量的概念及其关系，无穷小量的性质及无穷小量的比较。极限的存在准则：单调有界性准则和夹逼准则，两个重要极限。

数列极限与函数极限的定义及其性质：

数列极限的定义： 对于数列{an}，如果对于任何给定的正数E，存在正整数N，使得当n>N时，有|an-A| < E ,称数列{an}收敛于A，记住lim n 趋近于无穷an = A
函数极限的定义： 设函数f(x)在点x0的某个去心领域内有定义，如果对于任意给定的正数E，存在正数&，使得当0 < |x - x0| < & 时，有|f(x) - A | < E,则称函数f(x)在点x0处的极限为A，记住lim x——>f(x) = A
性质：数列和函数极限都具有唯一性、局部有界性、四则运算性质。
极限

计算函数极限的方法有，带入计算，等价无穷小（泰勒展开的一阶展开。），泰勒展开，洛必达（只能乘除不能加减。）



极限的7种未定型

背景补充

微积分：分为微积与微分。 微积： 由无数个无穷小的面积组成的面积S，对应一元函数微分学。微分学的基本概念是导数，导数代表斜率，斜率刚好就是这条直线和夹角的正切值，就是说直线和x轴的夹角越大，就倾斜越大。但是对于曲线来讲，曲线跟直线不同，完全可以在不同的地方的倾斜程度是不一样的，所以，我们不能说一条曲线的倾斜程度（”斜率”）而只能说曲线在某个点的倾斜程度。故此，需要引入一个概念，切线观地看，就是刚好在这点“碰到”曲线的直线。因为切线是直线，所以切线有斜率，于是我们就可以用切线的斜率代表曲线在这点的倾斜程度。利用无穷小定义了一点上的切线，我们就可以理所当然地用过这点切线的斜率来表示曲线在这点的倾斜度了。