高等数学 —— 一元函数积分学

一元函数积分学。
原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质，基本积分公式，定积分的概念和基本性质，定积分中值定理，积分上限的函数及其导数，牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式，不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法。
有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分，反常（广义）积分，定积分的应用（平面图形的面积，平面曲线的弧长，旋转体的体积及侧面积，平行截面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）及函数平均值。

• 原函数和不定积分：如果函数F的导数是f，即F’(x)=f(x)，则称F是f的一个原函数。不定积分是指函数f(x)的所有原函数的集合，通常表示为∫f(x)dx。

• 不定积分的基本性质：线性性、常数积分、分部积分、换元积分法等。

• 基本积分公式：包括多项式函数、三角函数、指数函数、对数函数等的基本积分公式。

• 定积分的概念和基本性质：定积分表示曲线下面积，具有线性性、积分中值定理等性质。

• 定积分中值定理：若f(x)在[a,b]上连续，则存在ξ∈(a,b)，使得∫[a,b]f(x)dx=(b-a)f(ξ)。

• 积分上限的函数及其导数：若f(x)在[a,b]上连续，则F(x)=∫[a,x]f(t)dt是[a,b]上的连续可导函数，且F’(x)=f(x)。

• 牛顿-莱布尼茨公式：若F(x)是f(x)的一个原函数，则∫[a,b]f(x)dx=F(b)-F(a)。

• 换元积分法与分部积分法：换元积分法是利用复合函数的链式法则求不定积分，分部积分法是求不定积分中的乘积。

• 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分：通过分式分解、三角函数的积分性质和简单无理函数的换元等方法求积分。

• 反常（广义）积分：对于某些函数或积分区间无限的情况，需要引入反常积分的概念，如无穷积分、瑕积分等。

• 定积分的应用：包括计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等。

• 函数平均值：定积分可以用来求函数在某个区间上的平均值，即函数在该区间上的积分除以区间长度。

自我总结

换元积分法，分步积分法。